Lũy thừa

Lấy bình phương, lập phương... của hai vế của đẳng thức i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} , ta có:

i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = − i {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = − 1 {\displaystyle i^{6}=-1} ...

Vì vậy với n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , ta có thể viết như sau:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = − 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = − i {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai với b2 - 4ac < 0 như x 2 + x + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x+1=0} .

Do công thức nghiệm tại đẳng thức này,

x 1 ; 2 = − 1 ± − 3 2 {\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}

Tuy nhiên, ta được đơn giản hơn do số ảo.

x 1 ; 2 = − 1 ± 3. − 1 2 = − 1 ± 3 − 1 2 = − 1 ± 3 i 2 {\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {3.-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}

Phân tích nhân tử

Nói chung, Đa thức như x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}} không có thừa số.

Tuy nhiên da được viết như sau (Tại -(-a)=+a)

x 2 − ( − a 2 ) {\displaystyle x^{2}-(-a^{2})}

Vì vậy ta có thể viết với số ảo như sau:

x 2 − ( − a 2 ) = x 2 − ( ( a i ) 2 ) = ( x + a i ) ( x − a i ) . {\displaystyle x^{2}-(-a^{2})=x^{2}-((ai)^{2})=(x+ai)(x-ai).}

Căn của số ảo

Sử dụng Công thức Euler ở x=π,

e i π = cos ⁡ ( π ) + i sin ⁡ ( π ) = − 1 + 0 i = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+0i=-1}

Tiếp theo lấy căn bậc bốn của hai vế.

e i π 4 = − 1 4 = i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}={\sqrt[{4}]{-1}}={\sqrt {i}}}

Do Công thức Euler ta có:

e i π 4 = cos ⁡ ( π 4 ) + i sin ⁡ ( π 4 ) = 1 2 + 1 2 i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i}

Vì vậy:

i = 1 + i 2 {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}

Căn bậc ba của số ảo

Lấy căn bậc sáu của hai vế của Công thức Euler ở x=π.

e i π 6 = i 3 = cos ⁡ ( π 6 ) + i sin ⁡ ( π 6 ) = 3 2 + 1 2 i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{6}}={\sqrt[{3}]{i}}=\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}

Do đó i 3 = 3 + i 2 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}}.}